ALGUNOS EXPERIMENTOS FISICOS

CAMPO MAGNETICO

1. Introducción

El magnetismo es uno de los aspectos del electromagnetismo, que es una de las fuerzas fundamentales de la naturaleza. Las fuerzas magnéticas son producidas por el movimientode partículas cargadas, como por ejemplo electrones, lo que indica la estrecha relación entre la electricidady el magnetismo. El marco que enlaza ambas fuerzas, es el tema de este curso, se denomina teoría electromagnétic. La manifestación más conocida del magnetismo es la fuerza de atracción o repulsión que actúa entre los materiales magnéticos como el hierro. Sin embargo, en toda la materiase pueden observar efectos más sutiles del magnetismo. Recientemente, estos efectos han proporcionado claves importantes para comprender la estructuraatómica de la materia.

2. Teoría Electromagnética

A finales del siglo XVIII y principios del XIX se investigaron simultáneamente las teoríasde la electricidad y el magnetismo.. En 1831, despúes de que Hans Oersted comenzará a describir una relación entre la electricidad y el magnetismo, y el francés André Marie Ampére seguido por el físico francés Dominique François profundizarán en dicho campo, el científico británico Michael Faraday descubrió que el movimiento de un imán en las proximidades de un cable induce en éste una corriente eléctrica; este efecto era inverso al hallado por Oersted. La unificación plena de las teorías de la electricidad y el magnetismo se debió al físico británico James Clerk Maxwell, que predijo la existencia de ondas electromagnéticas e identificó la luz como un fenómeno electromagnético.
Después de que el físico francés Pierre Ernst Weiss postulará la existencia de un campo magnético interno, molecular, en los materiales como el hierro, las propiedades magnéticas se estudiaron de forma cada vez más detallada, lo que permitió que más tarde otros científicos predijeran muchas estructuras atómicas del momento magnético más complejas, con diferentes propiedades magnéticas

3. El campo magnético

Una barra imantada o un cable que transporta corriente pueden influir en otros materiales magnéticos sin tocarlos físicamente porque los objetos magnéticos producen un ‘campo magnético’. Los campos magnéticos suelen representarse mediante ‘líneas de campo magnético’ o ‘líneas de fuerza’. En cualquier punto, la dirección del campo magnético es igual a la dirección de las líneas de fuerza, y la intensidad del campo es inversamente proporcional al espacio entre las líneas.

En el caso de una barra imantada, las líneas de fuerza salen de un extremo y se curvan para llegar al otro extremo; estas líneas pueden considerarse como bucles cerrados, con una parte del bucle dentro del imán y otra fuera. En los extremos del imán, donde las líneas de fuerza están más próximas, el campo magnético es más intenso; en los lados del imán, donde las líneas de fuerza están más separadas, el campo magnético es más débil. Según su forma y su fuerza magnética, los distintos tipos de imán producen diferentes esquemas de líneas de fuerza.
La estructura de las líneas de fuerza creadas por un imán o por cualquier objeto que genere un campo magnético puede visualizarse utilizando una brújulao limaduras de hierro. Los imanes tienden a orientarse siguiendo las líneas de campo magnético. Por tanto, una brújula, que es un pequeño imán que puede rotar libremente, se orientará en la dirección de las líneas. Marcando la dirección que señala la brújula al colocarla en diferentes puntos alrededor de la fuente del campo magnético, puede deducirse el esquema de líneas de fuerza.
Igualmente, si se agitan limaduras de hierro sobre una hoja de papel o un plástico por encima de un objeto que crea un campo magnético, las limaduras se orientan siguiendo las líneas de fuerza y permiten así visualizar su estructura.
Los campos magnéticos influyen sobre los materiales magnéticos y sobre las partículas cargadas en movimiento. En términos generales, cuando una partícula cargada se desplaza a través de un campo magnético, experimenta una fuerza que forma ángulos rectos con la velocidadde la partícula y con la dirección del campo. Como la fuerza siempre es perpendicular a la velocidad, las partículas se mueven en trayectorias curvas. Los campos magnéticos se emplean para controlar las trayectorias de partículas cargadas en dispositivos como los aceleradores de partículas o los espectró grafos de masas.

4. Fuerzas Magnéticas entre distribuciones de corriente

La expresión básica para el calculo de fuerzas magneticas es la fuerza de Lorentz:
Que como :

En el caso de las dos distribuciones de la figura, la fuerza que ejerce la distribución 1 sobre la 2 es:

Si el volumenencierra a la distribución, no puede haber corriente a través de la superficie que la limita.

Intercambiando los subindices se observa que las fuerzas magneticas cumplen el principio de acción y reacción.

Si se aplica la expresión al cálculo de la fuerza que ejerce una distribución sobre sí misma se obtiene un valornulo. Esto no quiere decir que una distribución no ejerza fuerza sobre sus elementos de corriente, sino que la fuerza total sobre el conjunto de sus elementos de corriente es nula.

La fuerza total sobre un elemento de corriente debe ser ortogonal al mismo
La fuerza entre dos elementos de corriente, en principio, no es necesariamente radial, pero como las distribuciones tienen divergencia nula, sólo contribuye la componente radial. Así que la suma de las fuerzas que dos elementos de corriente ejercen el uno sobre el otro es nula. Dos elementos de corriente paralelos se atraen sis sus corrientes llevan el mismo sentido y se repelen si llevan sentidos contrarios.

Ejemplo 1. Fuerza entre una corriente rectilínea indefinida y un espira rectangular

En este caso es más práctico partir de la expresión en función del campo magnetico.
El campo debido a la línea de corriente en el plano x = 0 es:

La contribución de los tramos horizontales se cancela.
Domina la contribución del tramo vertical más proximo
Para los sentidos de corriente de la figura, la fuerza resultante resulta atractiva.
Ejemplo 2. Fuerza magnetica sobre un conductor rectilineo
Intensidad de la corriente

La intensidad de la corriente eléctricaes la carga que atraviesa la sección normal S del conductor en la unidad de tiempo.
Sea n el número de partículas por unidad de volumen, v la velocidad media de dichas partículas, S la sección del haz y q la carga de cada partícula.
La carga Q que atraviesa la sección normal S en el tiempo t, es la contenida en un cilindro de sección S y longitud v·t.
Carga Q= (número de partículas por unidad de volumen n)·(carga de cada partícula q)· (volumen del cilindro Svt)
Q=n·qS·v·t
Dividiendo Q entre el tiempo t obtenemos la intensidad de la corriente eléctrica.
i=nqvS
La intensidad es el flujo de carga o la carga que atraviesa la sección normal S en la unidad de tiempo, que será el producto de los siguientes términos:

• Número de partículas por unidad de volumen, n
• La carga de cada partícula, q.
• El área de la sección normal, S
• La velocidad media de las partículas, v.

Fuerza sobre una porción de conductor rectilíneo.
En el espectrómetro de masas o en el ciclotrón, ya hemos estudiado la fuerza que ejerce un campo magnético sobre un portador de carga, y el movimiento que produce.

En la figura, se muestra la dirección y sentido de la fuerza que ejerce el campo magnético B sobre un portador de carga positivo q, que se mueve hacia la izquierda con velocidad v.

Calculemos la fuerza sobre todos los portadores (nSL) de carga contenidos en la longitud L del conductor.
El vector unitario ut=v/v tiene la misma dirección y sentido que el vector velocidad, o el sentido en el que se mueven los portadores de carga positiva.
En el caso de que el conductor no sea rectilíneo o el campo magnético no se constante, se ha de calcular la fuerza sobre un elemento de corriente dl
Las componentes de dicha fuerza dFx y dFy
Se ha de comprobar si hay simetría de modo que alguna de las componentes sea nula .
Ejemplo 3. Fuerza y momento sobre una espira
Fuerza sobre cada lado de la espira

La figura representa una espira rectangular cuyos lados miden a y b. La espira forma un ángulo q con el plano horizontal y es recorrida por una corriente de intensidad i, tal como indica el sentido de la flecha roja en la figura.
La espira está situada en una región en la que hay un campo magnético uniforme B paralelo al plano horizontal (en colorgris), tal como indica la flecha de color azul en la figura.
Calcularemos la fuerza que ejerce dicho campo magnético sobre cada uno de los lados de la espira rectangular.
Ya hemos deducido la expresión de la fuerza que ejerce un campo magnético sobre una porción L de corriente rectilínea.
La fuerza Fr sobre cada uno de los lados de longitud a, esta señalada en la figura y su modulo vale
F1=i·1·B·a·sen90º=iBa.
La fuerza F2 sobre cada uno de los lados de longitud b, es
F2=i·1·B·b·senq =iBb·senq
Esta fuerza tiene la dirección del eje de rotación de la espira, y sentidos opuestos.
La fuerza F2 es nula cuando la espira está contenida en el plano horizontal q =0º, y es máxima cuando el plano de la espira es perpendicular al plano horizontal q =90º.
Momento de las fuerzas sobre la espira
La fuerza resultante sobre la espira es nula, sin embargo, las fuerzas sobre los lados de longitud a no tienen la misma línea de acción y forman un par de momento.
M = 2F1·(b/2)·cosq = i·ab·B·cosq = i·S·B·cosq
La dirección momento M es la del eje de rotación de la espira, y el sentido viene dado por la regla del sacacorchos.
Definimos una nueva magnitud denominada momento magnético m de la espira.

• Cuyo módulo es el producto de la intensidad de la corriente i por el área S de la espira.
• Su dirección es perpendicular al plano de la espira.
• Su sentido viene determinado por el avance de un sacacorchos que gire como lo hace la corriente en la espira.

El momento se puede expresar en forma de producto vectorial de dos vectores, el vector momento magnético m y el vector campo magnético B

Como vemos en la figura

• Su módulo es M=m·B·sen(90+q )=m·B·cosq =iS·B·cosq
• Su dirección es perpendicular al plano determinado por los dos vectores, es decir, el eje de rotación de la espira.
• Su sentido es el del avance de un sacacorchos que gire desde el vector m hacia el vector B por el camino más corto.

Cuando el vector campo B y el vector momento magnético m son paralelos, el momento M es nulo, esta es una posición de equilibrio.
Aunque la fórmula del momento M se ha obtenido para una espira rectangular, es válida para una espira circular o de cualquier otra forma
Para finalizar el presente trabajo, y basandome en soporte de interneta continuación se presentan aplicaciones de fuerzas magneticas y electricas en tecnologias actuales:
Aplicación de fuerzas eléctricas y magnéticas al control de formas líquidas en microgravedad.
En purificación de semiconductoresy crecimiento de monocristales se usa la técnica de la zona flotante. Las fuerzas magnéticas estabilizan la zona flotante
Curva de estabilidad en el plano B -L para distintos valores de la longitud de penetración

Chorro perfectamente conductor: = 0; Chorro aislante: d = infinito
Los puntos a la derecha de cada curva representan estados inestables (ruptura del chorro). La aplicación de un campo magnético permite obtener chorros más esbeltos.
En la secuencia de imágenes: un puente estable por la acción de un campo eléctrico axial se rompe cuando este se hace cero. Se estudian acelerómetros basados en la dinámica de puentes líquidos, por la sensibilidad de su rotura a la microgravedad.

HIDROSTATICA

1.1 ¿Qué es la hidrostática?

La hidrostática es una rama de la física que se encarga del estudio de los fluidos carentes de movimiento.

1.2 Propiedades de los fluidos.

Densidad: Es la masa contenida en una unidad de volumen de una sustancia (masa por unidad de volumen). Cuando se trata de una sustancia homogénea, la expresión para su cálculo es: (1)

Donde
: densidad de la sustancia, Kg/m3
m: masa de la sustancia, Kg
V: volumen de la sustancia, m3
En el caso de sustancias no homogéneas se usa las siguientes fórmulas:
Densidad en un punto: (2)
Densidad promedia: (3)
Las unidades en las cuales se suele expresar la densidad son: Kg/m3, Kg/dm3, gr/cm3 y lb/pie3
La densidad de una sustancia varía con la temperatura y la presión; al resolver cualquier problema debe considerarse la temperatura y la presión a la que se encuentra el fluido.

El agua posee una densidad absoluta a 4 º C y una atmósfera de presión igual a 999,997 Kg/m3 o 62,244 lb/pie3

Tabla 1. Variación de algunas propiedades físicas del agua con la temperatura.

Temperatura (ºC)	Peso específico (KN/m3)	Densidad (Kg/m3)
0	9,805	999,8
5	9,807	1.000
10	9,804	999,7
15	9,798	999,1
20	9,789	998,2
25	9,777	997,0
30	9,764	995,7
40	9,730	992,2
50	9,689	988,0
60	9,642	983,2
70	9,589	977,8
80	9,530	971,8
90	9,466	965,3
100	9,399	958,4

Nota : los valores se dan a presión atmosférica.

Por lo general, se suele conocer la gravedad específica del fluido, no su densidad absoluta. La gravedad específica se define como la relación entre el peso de una sustancia y el de un volumen igual de agua en condiciones estándar (4 º C, 1 atm). La gravedad específica se conoce también como densidad relativa o peso específico relativo, se representa con la letra "s"
(4)
Donde:
Wo: peso de un volumen igual al volumen de la sustancia de agua a 4 ºC y 1 atmósfera
: peso específico del agua a 4 º C y 1 atmósfera; = 9806,26 N/m3 = 62,244 lb/pie3
: densidad del agua a 4 º C y 1 atmósfera; = 999,997 Kg/m3 = 62,244 lb/pie3
Es importante señalar que la gravedad específica es adimensional.
Peso específico: Peso por unidad de volumen de una sustancia.
Cuando se trata de una sustancia homogénea, la expresión para su cálculo es: ; en el caso de sustancias no homogéneas se usa las siguientes fórmulas:
Peso específico en un punto: (5)
Peso específico promedia: (6)
Las unidades en las cuales se suele expresar son: N/m3, Kgf/m3, dina/cm3 y lbf/pie3

Viscosidad dinámica o absoluta o newtoniana o coeficiente de viscosidad (): Es la medida de la resistencia de un fluido a ser deformado por esfuerzos cortantes

(7)
Donde:
: esfuerzo cortante aplicado, N/m2
: rapidez de deformación angular producida, Rad/s
Las unidades usuales son: N.s/m2(Pa.s), dina.s/cm2(poise), Kgm/m.s, lbf.s/pie2

Viscosidad cinemática o relativa (): Es la medida de la resistencia de un fluido a ser deformado por esfuerzos cortantes.

(8)
Unidades usuales: m2/s, cm2/s(stoke), pie2/s

Existen muchas más propiedades físicas como: volumen específico, presión de vapor, tensión superficial y el módulo de elasticidad volumétrico las cuales se abordarán con mayor profundidad en subproyectos ulteriores.

1.3 Presión hidrostática.

Presión en mecánica, es la fuerza por unidad de superficie que ejerce un líquido o un gas perpendicularmente a dicha superficie.

La presión suele medirse en atmósferas (atm); en el SistemaInternacional de unidades (SI), la presión se expresa en Newton por metro cuadrado; un Newton por metro cuadrado es un pascal (Pa). La atmósfera se define como 101.325 Pa, y equivale a 760 mm de mercurio o 14,70 lbf/pulg2 (denominada psi).

(9)
Donde:
P: presión ejercida sobre la superficie, N/m2
F: fuerza perpendicular a la superficie, N
A: área de la superficie donde se aplica la fuerza, m2

La mayoría de los medidores de presión, o manómetros, miden la diferencia entre la presión de un fluido y la presión atmosférica local. Para pequeñas diferencias de presión se emplea un manómetro que consiste en un tubo en forma de U con un extremo conectado al recipiente que contiene el fluido y el otro extremo abierto a la atmósfera. El tubo contiene un líquido, como agua, aceite o mercurio, y la diferencia entre los niveles del líquido en ambas ramas indica la diferencia entre la presión del recipiente y la presión atmosférica local.

Para diferencias de presión mayores se utiliza el manómetro de Bourdon, llamado así en honor al inventor francés Eugène Bourdon. Este manómetro está formado por un tubo hueco de sección ovalada curvado en forma de gancho. Los manómetros empleados para registrar fluctuaciones rápidas de presión suelen utilizar sensores piezoeléctricos o electrostáticos que proporcionan una respuesta instantánea.

Como la mayoría de los manómetros miden la diferencia entre la presión del fluido y la presión atmosférica local, hay que sumar ésta última al valor indicado por el manómetro para hallar la presión absoluta. Una lectura negativa del manómetro corresponde a un vacío parcial.

Las presiones bajas en un gas (hasta unos 10-6 mm de mercurio de presión absoluta) pueden medirse con el llamado dispositivo de McLeod, que toma un volumen conocido del gas cuya presión se desea medir, lo comprime a temperatura constante hasta un volumen mucho menor y mide su presión directamente con un manómetro. La presión desconocida puede calcularse a partir de la ley de Boyle-Mariotte. Para presiones aún más bajas se emplean distintos métodos basados en la radiación, la ionización o los efectos moleculares.

1.4 Principio fundamental de la hidrostática.

La diferencia de presión entre dos puntos de un mismo líquido es igual al producto del peso específico del líquido por la diferencia de niveles

P2 - P1 = . (h2 - h1) (10)
Donde:
P2, P1: presión hidrostática en los puntos 2 y 1 respectivamente, N/m2
h2, h1: profundidad a la que se encuentran los puntos 2 y 1 respectivamente, m
: peso específico del fluido, N/m3
1.5 Principio de Pascal.
Toda presión ejercida sobre la superficie libre de un líquido en reposo se transmite íntegramente y con la misma intensidad a todos los puntos de la masa líquida y de las paredes del recipiente.
1.6 Principio de Arquímedes (Boyantez).
Todo cuerpo sumergido en un líquido, recibe un empuje de abajo hacia arriba igual al peso del líquido desalojado.
E = . V (11)
Donde:
E: empuje hidrostático, N
: peso específico del fluido, N/m3
V: volumen de fluido desalojado por el cuerpo, m3
El concepto de "peso aparente" se refiere al "peso supuesto" que posee un cuerpo que se encuentra sumergido en un fluido.
Pa = W – E (12)
Donde:
Pa: peso aparente, N
W: peso real del cuerpo, N
E: empuje hidrostático que recibe el cuerpo

1.7 Momento de Inercia.

El momento de inercia es la resistencia que un cuerpo en rotación opone al cambio de su velocidadde giro. A veces se denomina inercia rotacional. El momento de inercia desempeña en la rotación un papel equivalente al de la masa en el movimiento lineal.

Por ejemplo, si una catapulta lanza una piedra pequeña y una grande aplicando la misma fuerza a cada una, la piedra pequeña se acelerará mucho más que la grande. De modo similar, si se aplica un mismo par de fuerzas a una rueda con un momento de inercia pequeño y a otra con un momento de inercia grande, la velocidad de giro de la primera rueda aumentará mucho más rápidamente que la de la segunda.
El momento de inercia de un objeto depende de su masa y de la distancia de la masa al eje de rotación. Por ejemplo, un volante de 1 kg con la mayoría de su masa cercana al eje tendrá un momento de inercia menor que otro volante de 1 kg con la mayoría de la masa cercana al borde exterior.

El momento de inercia de un cuerpo no es una cantidad única y fija (Tabla 2). Si se rota el objeto en torno a un eje distinto, en general tendrá un momento de inercia diferente, puesto que la distribuciónde su masa con relación al nuevo eje es normalmente distinta.

Las leyes del movimiento de los objetos en rotación son equivalentes a las leyes del movimiento de los objetos que se mueven linealmente (el momento de inercia sustituye a la masa, la velocidad angular a la velocidad lineal)

El elemento de inercia de un elemento de área respecto a un eje en su plano está dado por el producto del área del elemento y el cuadrado de la distancia entre el elemento y el eje. En la Figura 1, el momento de inercia dIx del elemento respecto al eje x es:
(13)
Donde:
dIx: momento de inercia respecto del eje X.
y: distancia desde el eje x al diferencial de área.
dA: diferencial de área.

Figura 1. Un diferencial de área ubicado a una distancia x con respecto al eje y, y una distancia y respecto al eje x
Respecto al eje y, el momento de inercia es:
(14)
Donde:
dIy: momento de inercia respecto del eje Y.
x: distancia desde el eje y al diferencial de área.
dA: diferencial de área.
El momento de inercia de un área finita respecto a un eje en su plano es la suma de los momentos de inercia respecto de ese eje de todos los elementos de área contenidos en él. También se halla, frecuentemente, por medio de una integral. Si se representa por Ix este momento de inercia, tenemos:
(15)
(16)

Las unidades del momento de inercia son la cuarta potencia de una longitud; por ejemplo: cm4, m4

Es importante para el cálculo de momento de inercia en una figura plana conocer el Teorema de los ejes paralelos; el cual dice que el momento de inercia de una superficie respecto a un eje cualquiera es igual al momento de inercia respecto a un eje paralelo que pasa por el centro de gravedad, más el producto del área por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes. Para la superficie de la Figura 2, los ejes xG e yG pasan por el centro de gravedad y los x e y son paralelos a ellos y están situados a las distancias x1 e y1. Sea A el área de la figura, IxG e IyG los momentos de inercia respecto a los ejes del centro de gravedad e Ix, Iy los correspondientes a los ejes x e y tenemos que:

Figura 2. Una figura plana cuyo centro de gravedad se encuentra a una distancia x1 del eje y, y una distancia y1 del eje x.
(17)
(18)
Tabla 2. Momentos de inercias más comunes.

Forma de la compuerta	Momento de inercia referido al centroide
Rectangular	b: ancho, h: alto
Cuadrada	b: lado
Circular	r: radio

1.8 Presión sobre superficies planas.

La presión en el seno de un líquido en reposo se ejerce siempre normalmente a la superficie, de tal modo que si tuviéramos un vaso que contiene un líquido y hacemos orificios en varios puntos del vaso, el líquido saldría en chorros cuyas direcciones son normales a las paredes (durante un corto trayecto por supuesto) en los puntos de salida (Figura 3).

Figura 3. Depósito cónico al cual se la realizado diferentes perforaciones.
Supongamos que una superficie rectangular sumergida en el seno de un líquido, y a la que pondremos en diferentes posiciones con respecto a la superficie libre del líquido.

Figura 4. Superficie plana colocada paralela con respecto a la superficie libre.
Primero la supondremos paralela a la superficie libre, sumergida a una profundidad h. La presión en todos los puntos de esa superficie es la misma, es decir, es uniforme. Para calcular el valor de la presión es necesario conocer la profundidad h y el peso especifico del líquido. Llamando A a un punto cualquiera de la superficie en cuestión, tenemos:
PA = . h (19)
Para calcular la fuerza que obra sobre toda la superficie S (empuje del líquido sobre la superficie), que llamaremos F, tenemos:
F = . h . S (20)
En la expresión anterior S es la superficie y debe tenerse cuidado de no confundir el empuje con la presión. Si la presión es uniforme sobre una superficie determinada, la resultante de las fuerzas que se están ejerciendo sobre cada punto es el empuje o fuerza total y pasa por el centro de gravedad de la superficie.
F se interpreta diciendo que "cuando la presión es uniforme sobre una superficie plana, el empuje tiene un valor igual a la intensidad de la presión en cualquier punto, multiplicado por la superficie". El empuje queda representado por un vector normal a la superficie, que pasa por el centro de gravedad de ésta.
Consideremos ahora una superficie pero inclinada con respecto a la superficie libre del líquido. Aquí la presión no es uniforme en todos los puntos de la superficie, sino que va variando siendo menor en A y aumentando hasta B (Figura 5).

Figura 5. Distribución de las fuerzas debida a una columna de líquido en una superficie plana inclinada
El empuje debe ser normal a la superficie y ya no pasa por el centro de gravedad de ésta sino más abajo porque la resultante del sistema de fuerzas paralelas formado por las distintas presiones estará cerca de las fuerzas de mayor intensidad. El punto por donde pasa el empuje que el líquido ejerce sobre la superficie se llama "centro de presión".
Para que quede determinado el empuje es necesario determinar primero su intensidad y enseguida la localización del centro de presión.

En la Figura 6 se muestran las proyecciones de cualquier superficie plana AB sujeta a la presión estática de un líquido con superficie libre. La superficie AB hace un ángulo cualquiera con la horizontal; prolongado el plano de esa superficie, intercepta la superficie libre del líquido según una recta XX’ mostrada como un punto M en (a).

Figura 6. Superficie plana sumergida en el seno de un líquido

Supongamos que una faja elemental de la superficie tomada paralelamente al eje XX’. La presión sobre esta faja es uniforme y a su empuje podemos llamar dF. La resultante de las dF es una fuerza que ya dijimos, cae en el centro de presión; se tiene:
(21)
(22)
La superficie plana en su intersección con la superficie libre da una línea que es interesante considerar:
(23)
por sustitución, nos queda...
(24)
por cierto, que es el momento estático de la superficie S con respecto al eje XX’, por lo tanto:
(25)
por sustitución, nos queda...
(26)
pero como;; por lo que al sustituir...
(27)
"El empuje o fuerza de presión sobre la superficie plana, tiene por valor el producto de la presión en el centro de gravedad por la superficie considerada", o sea:
(28)
Donde:
: peso específico del fluido en el que se encuentra sumergido la superficie libre.
: profundidad a la que se encuentra el centro de gravedad de la superficie libre.
A: área de la compuerta
La distancia del centro de gravedad de la superficie al centro de presión se calcula:
(29)
Donde:
Ic : momento de inercia de la superficie respecto al centroide

yc: distancia desde el centro de gravedad a la superficie libre en la dirección de inclinación de la compuerta

A: área total de la superficie sumergida

1.9 ¿Qué es la hidrodinámica?

Es la rama de la física que se encarga del estudio de los fluidos animados de movimiento.

1.10 Gasto volumétrico y la ecuación de continuidad.

El gasto volumétrico o caudal es el volumen de agua que pasa a través de una sección de tubería por unidad de tiempo. Se expresa en m3/s, Lt/s, Pie3/s dependiendo del sistema de unidades en que se trabaje.

(30)
Donde:
Q: gasto volumétrico, m3/s
v: velocidad promedia del fluido en la sección transversal de estudio, m/s
A: superficie de la sección transversal, m2
t: tiempo en que circula en volumen V a través de la sección de estudio, s
V: volumen que atraviesa la sección transversal, m3
Cuando el gasto es igual en todas las secciones de un conducto, se dice que el régimen del escurrimiento es permanente.
Cuando el régimen es permanente y el conducto tiene diámetro variable, la velocidad es diferente en cada sección e inversamente proporcional a ella, de tal manera que:
(31)
La anterior expresión se conoce como "Ecuación de continuidad"

1.11 Teorema de Bernoulli.

A medida que un fluido se mueve por un tubo de sección transversal y altura variable, la presión cambia a lo largo del mismo. En 1738, el físico suizo Daniel Bernoulli dedujo por vez primera una expresión que relaciona la presión con la velocidad y elevación del fluido.

Figura 7. El fluido en la sección de longitud x1 se mueve en la sección de longitud x2. Los volúmenes de fluidos en las dos secciones son iguales.

Considere el flujo de un fluido ideal por un tubo no uniforme en un tiempo t. Como se ilustra en la Figura 7. La fuerza sobre el extremo inferior del fluido es P1.A1, donde P1 es la presión en la sección 1. El trabajo realizado por esta fuerza es W1 = F1.x1 = P1.A1.x1 = P1.V1 donde V es el volumen de la sección 1. Análogamente, el trabajo realizado por el fluido en el extremo superior en el tiempo t es W2 = - F2.x2 = - P2.A2.x2 = - P2.V2 (el volumen que pasa por la sección 1 en un tiempo t es igual al volumen que pasa por la sección 2 en el mismo intervalo de tiempo). Este trabajo es negativo por que la fuerza del fluido se opone al desplazamiento. Así vemos que el trabajo neto hecho por estas fuerzas en el tiempo t es:

W = (P1 – P2).V (32)
Parte de este trabajo se utiliza para cambiar la energía cinética del fluido y otra parte para cambiar la energía potencial gravitatoria. Si m es la masa que pasa por el tubo en el tiempo t, entonces el cambio de energía cinética es:
m.v22 - m.v12(33)
El cambio de energía potencial gravitatoria es:
U =  m.g.y2 –  m.g.y1(34)
Podemos aplicar el Teorema Del Trabajo y La Energía en la forma W =  K +  U a este volumen del fluido y obtener:
(P1 – P2).V = m.v22 - m.v12 +  m.g.y2 –  m.g.y1(35)
Si dividimos cada término entre V y recordamos que, la expresión anterior se reduce a:
P1 – P2 = .v22 - .v12 + .g.y2 – .g.y1(36)
Ordenando la expresión…
(37)
"Si no hay pérdida de carga entre dos secciones de la circulación de un líquido en régimen permanente, la suma de las cargas de altura o posición, de velocidad y de presión es constante en cada sección del líquido"
Esta expresión solo es valedera si se considera que no existen perdidas entre el tramo 1 y 2.
Donde:
h : carga de altura o posición, m
: carga de velocidad, m
: carga de presión, m

1.12 Número de Reynolds y los regimenes de flujo.

El número de Reynolds es un número adimensional que se utiliza en la mecánica de fluidos para estudiar el movimiento de un fluido en el interior de una tubería, o alrededor de un obstáculo sólido. Se representa por R. El número de Reynolds puede ser calculado para cada conducción recorrida por un determinado fluido y es el producto de la velocidad, la densidad del fluido y el diámetro de la tubería dividido entre la viscosidad del fluido.

Para un mismo valor de este número el flujo posee idénticas características cualquiera que sea la tubería o el fluido que circule por ella. Si R es menor de 2.100 el flujo a través de la tubería es siempre laminar; cuando los valores son superiores a 2.100 el flujo es turbulento.

De acuerdo con la expresión del número de Reynolds, cuanto más elevada sea la viscosidad de un fluido mayor podrá ser el diámetro de la tubería sin que el flujo deje de ser laminar, puesto que las densidades de los líquidos son casi todas del mismo orden de magnitud. Por este motivo los oleoductos, en régimen laminar, pueden tener secciones superiores a las conducciones de agua, ya que la viscosidad de los fluidos que circulan por aquéllos es mayor que la del agua.
(38)
Donde:
NRe: Número de Reynold, adimensional
V: velocidad media del fluido, m/s
: densidad media del fluido, Kg/m3
D: diámetro interno de la tubería, m
: viscosidad absoluta del fluido, N.s/m2

PROBLEMAS PROPUESTOS CON RESPUESTAS

Dada la variedad de métodos para resolver problemas que involucren los conceptos de hidrostática e hidrodinámica, se presentarán los problemas sin ningún orden temático de agrupación.

1. Denver, Colorado, se conoce como la "Ciudad a una Milla de Altura" debido a que está situada a una elevación aproximada de 5.200 pies. Si la presión a nivel del mar es de 101,3 KPa (abs), ¿Cuál es la presión atmosférica en Denver?. Densidad del aire = 1,29 Kg/m3. Sol. 81,2 KPa
2. Un barómetro indica que la presión atmosférica es de 30,65 pulgadas de mercurio. Calcule la presión atmosférica en lb/pulg2 absoluta? Sol. 15,058 psi
3. ¿Cuál es la lectura de presión barométrica en milímetros de mercurio correspondiente a 101,3 KPa(abs)? Sol. 759,812 mm de Hg a 0 ºC
   
4. Para el tanque de la Figura, determine la profundidad del aceite, h, si la lectura en el medidor de presión del fondo es de 35,5 lb/pulg2 relativa, la parte superior del tanque está sellada y el medidor superior indica 30 lb/pulg2 relativa. Sol. 13,355 Ft
   
5. Para el manómetro diferencial que se muestra en la Figura, calcule la diferencia de presión entre los puntos A y B. La gravedad específica del aceite es de 0,85 Sol. PA-PB = 37,20 Lb/Ft2
6. ¿A qué carga de altura de tetracloruro de carbono (densidad relativa 1,59) es equivalente una presión de 200 KPa? Sol. 12,83 m
7. Un recipiente contiene 10 Lt de agua pura a 20 ºC. ¿Cuál es su masa y su peso? Sol. 9,9758 kg y 97.862 N
8. La misma pregunta 7, suponiendo el recipiente en la Luna en donde la atracción gravitacional es 1.66 m/s2 Sol. 16,559 N
9. Calcular el empuje que experimenta un cuerpo que flota sobre un líquido de densidad igual a 0,8 g/cm3, desalojando 20 cm3 de líquido Sol. 0,157 N
10. Un cuerpo pesa en el aire 600 N y sumergido totalmente en agua pesa 200 N. Calcular su peso específico Sol. 14716,7 N/m3
11. Un cuerpo pesa 800 N sumergido totalmente en agua y 600 N sumergido totalmente en un líquido de densidad igual a 1,2 g/cm3. Hallar cuánto pesará sumergido totalmente en alcohol de peso específico igual a 0,8 g/cm3 Sol. 1000,124 N
12. Calcule el momento necesario para mantener la compuerta cerrada. La compuerta mide 2 m x 2 m. Sol. 1090251,595 N.m sentido horario
13. Dos recipientes pequeños están conectados a un manómetro de tubo en U que contiene mercurio (densidad relativa 13,56) y los tubos de conexión están llenos de alcohol (densidad relativa 0,82). El recipiente que se encuentra que se encuentra a mayor presión está a una elevación de 2 m menor que la del otro. ¿Cuál es la diferencia de presión entre los recipientes cuando la diferencia estable en el nivel de los meniscos de mercurio es de 225 mm?. ¿Cuál es la diferencia en carga de altura piezométrica?. Si se usara un manómetro de tubo en U invertido conteniendo un líquido de densidad relativa 0,74 en lugar del anterior, ¿cuál seria la lectura del manómetro para la misma diferencia de presión? Sol. 44,2 kPa, 0,332 m; 6,088 m
14. ¿Cuál es la posición del centro de presión de un plano semicircular verticalmente sumergido en un líquido homogéneo y con su diámetro d dispuesto en la superficie libre? Sol. Sobre la línea central y a una profundidad
15. Una abertura circular de 1,2 m de diámetro en el lado vertical de un depósito, se cierra por medio de un disco vertical que ajusta apenas en la abertura y esta pivoteado sobre un eje que pasa a través de su diámetro horizontal. Demuéstrese que, si el nivel de agua en el depósito se halla arriba de la parte superior del disco, el momento de volteo sobre el eje, requerido para mantener vertical al disco, es independiente de la carga de altura del agua. Calcúlese el valor de este momento. Sol. 998 N.m
16. Un recipiente con agua, de masa total de 5 kg, se encuentra sobre una báscula para paquetes. Se suspende un bloque de hierrode masa 2,7 kg y densidad relativa 7,5, por medio de un alambre delgado desde una balanza de resorte y se hace descender dentro del agua hasta quedar completamente sumergido. ¿Cuáles son las lecturas en las dos balanzas? Sol. 2,34 kgf, 5,36 kgf
17. Un cilindro de madera uniforme tiene una densidad relativa de 0,6. Determínese la relación entre el diámetro y la longitud del mismo, para que éste flote casi vertical en el agua. Sol. 1,386
18. ¿Qué fuerza ejercerá el pistón menor de un sillón de dentista para elevar a un paciente de 85 Kg?, si el sillón es de 300 Kg y los émbolos son de 8 cm y 40 cm de radio. Sol. 151,02 N
19. En un tubo U se coloca agua y nafta, las alturas alcanzadas son 52 cm y 74 cm respectivamente, ¿cuál es la densidad de la nafta? Sol. 0,71 g/cm3
20. Un cubo de aluminio (=2.7 gf/cm3) de 3 cm de lado se coloca en agua de mar ( = 1,025 gf/cm3). ¿Flotará? Sol. No
21. Un cuerpo pesa en el aire 289 gf, en agua 190 gf y en alcohol 210 gf. ¿Cuál será el peso específico del cuerpo y del alcohol? Sol. Cuerpo: 2,92 gf/cm3, alcohol: 0,798 gf/cm3
22. Un cuerpo se sumerge en agua y sufre un empuje de 55 gf, ¿cuál será el empuje que sufrirá en éter? (= 0,72 g/cm3) Sol. 36,69 gf ¿Cuál será la velocidad de salida? Sol. 6,41 m/s
    ¿Cuál será el alcance del chorro? Sol. 2,74 m
23. Un recipiente cilíndrico de 3 m de alto está lleno de agua, a 90 cm de la base se le practica un orificio de 2 cm2 de sección, determinar:
24. ¿Cuál será la sección de un orificio por donde sale un líquido si el caudal es de 0,8 dm3/s y se mantiene un desnivel constante de 50 cm entre el orificio y la superficie libre del líquido Sol. 2,55 cm2
25. Calcular la velocidad de salida de un líquido por un orificio situado a 6 cm de la superficie libre del líquido. Sol. 108,4 cm/s
26. Por un conducto recto circula agua a una velocidad de 4 m/s. Si la sección del tubo es de 2 cm2, ¿cuál es el caudal de la corriente? Sol. 800 cm3/s
27. Por una cañería circula agua con un régimen estacionario a caudal constante. Considerando dos secciones de esa cañería; S1 = 5 cm2 y S2 = 2 cm2, ¿cuál será la velocidad en la segunda sección, si en la primera es de 8 m/s? Sol. 20 m/s
28. Por un orificio sale agua a razón de 180 l/min. Si se mantiene constante el desnivel de 30 cm entre el orificio y la superficie libre del líquido, ¿cuál es la sección del orificio? Sol. 12,3 cm2
29. Calcular la velocidad de salida de un líquido por un orificio situado a 4,9 cm de la superficie libre del líquido. Sol. 98 cm/s
30. Por un tubo de 15 cm2 de sección sale agua a razón de 100 cm/s. Calcule la cantidad de litros que salen en 30 minutos. Sol. 2700 l
31. El caudal de una corriente estacionaria es de 600 l/min. Las secciones de la tubería son de 5 cm2 y 12 cm2. Calcule la velocidad de cada sección. Sol. 2000 cm/s y 83,33 cm/s
32. Una corriente estacionaria circula por una tubería que sufre un ensanchamiento. Si las secciones son de 1.4 cm2 y 4.23 cm2 respectivamente, ¿cuál es la velocidad de la segunda sección si en la primera es de 6 m/s? Sol. 2 m/s
33. Calcular el volumen que pasa en 18 segundos por una cañería de 3 cm2 de sección si la velocidad de la corriente es de 40 cm/seg Sol. 2160 cm3
34. ¿Cuál es el caudal de una corriente que sale por una canilla de 0,5 cm de radio si la velocidad de salida es de 30 m/s? Sol. 23,55 cm3/seg
35. Convertir 30 l/min a cm3/seg Sol. 5000 cm3/seg

37. 
38. Un tanque provisto de una compuerta circular es destinado a la recolección de agua de mar (S = 1,03) como se muestra en la figura anexa. Para impedir que la compuerta abra se colocará piedras en el borde inferior de la misma. Determine la masa de piedra necesaria para evitar que se aperture la compuerta. Masa de la compuerta: 1 tonelada, ángulo de inclinación: 30 º, diámetro de la compuerta: 10 m. Sol: 10273,52 Kg
39. Un prisma de hielo se ha colocado verticalmente en agua de mar, sobresale 25 m. Determinar su altura total sabiendo que la densidad del hielo es 0,914 g/cm3 y la densidad del agua de mar es 1,023 g/cm3. Sol: 234,08 m
40. La velocidad de una corriente estacionaria es de 50 cm/s y su caudal es 10 L/s. ¿Cuál es la sección transversal del tubo?. Sol: 0,02 m2
41. Un cilindro de anime (Sa = 0,68) se encuentra flotando en alcohol (Sal = 0,90). Determine el porcentaje de la altura total del cilindro que emerge sobre la línea de flotación. Si se colocase hierro en la parte superior del cilindro a fin de sumergirlo totalmente, ¿cuál es la relación entre la masa de hierro (SFe = 7,8) y la masa de anime? Sol. 24 % de la altura total; mFe/man = 0,322347
42. Un sistema de bombeo funciona a plena carga trasladando petróleo(Sp = 0,87), desde un punto ubicado a 150 metros sobre nivel del mar (msnm) a otro localizado a 1250 msnm. La presión en la succión es 150 psi y en la descarga 258,6 psi. Calcula el caudal de fluido manejado por el sistema, sabiendo que la relación de diámetro entre succión y descarga es 3 (Ds/Dd); Dd = 20 cm. Sol. 4,474 m3/s
    
    43. 
    44. En la figura adjunta se presenta un contenedor de aceite (Sa = 0,80), el cual posee dos compuertas cuadradas a los lados, inclinadas respecto a la horizontal 60 º. Determina cuánto debe ser la máxima altura de fluido "h" que puede estar presente dentro del contenedor, sabiendo que la resistencia a la rotura del cable AB es de 680.000 Pascales (el cable AB mantiene ambas compuertas cerradas). Cada compuerta tiene un peso de 50.000 N. El C.G. de las compuertas se encuentra a 2,5 m del fondo (medido verticalmente). Sol. 6,411 m
        
    45. Sabiendo que: PA – PB = 14.500 psi; dA = 25 cm; dB = 5 cm y S del fluido igual 0,90. Determine el caudal en m3/s. Sol. 0,926 m3/s
        
    46. Se desea elevar un bloque de hierro (cuyo peso es 650 N) usando una esfera de un material especial (Se = 0,60). Sabiendo que la línea de flotación de la esfera se encuentra exactamente en su mitad, ¿Cuánto debe ser el volumen de la esfera? Sol. 1,325 m3
    47. Una esfera de plástico flota en el agua con 50 % de su volumen sumergido. Esta misma esfera flota en aceite con 40 % de su volumen sumergido. Determine las densidades del aceite y de la esfera. Sol. esfera = 500 kg/m3; aceite = 1250 kg/m3
    48. En la figura adjunta se presenta un sistema cilindro – pistón. El pistón transmite una fuerza de 650.000 N a la superficie de un líquido cuya gravedad específica es 0,52. La sección transversal del pistón es circular. Al lado derecho del cilindro se ubica una compuerta cuadrada, que tiene libertad para girar alrededor del punto A. Determine, ¿Cuánto debe ser la magnitud de la fuerza Fx y su línea de acción para que la compuerta permanezca cerrada? Sol. 4605912,72 N; 0,02 m por debajo del centro de gravedad de la compuerta
43. Un tanque presurizado con aire contiene un líquido de peso específico desconocido. El mismo posee una compuerta rectangular como se muestra en la figura adjunta; si la presión del aire es 200000 N/m2 y la presión en el fondo del tanque es de 500000 N/m2. Determínese la magnitud de la fuerza de presión y la línea de acción de la misma. Sol: Fp = 42.012.000 N; CG-CP = 0,714 m.